数学与猜想（第一卷）

《数学与猜想》是著名数学家G. 波利亚撰写的一部经典名著，书中讨论的是自然科学、特别是数学领域中与严密的论证推理完全不同的一种推理方法——合情推理（即猜想）。这部著作通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，阐述了作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，书中的例子不仅涉及数学各学科，也涉及到物理学，全书内容丰富，谈古论今，叙述生动，能使人看到数学中真正的奥妙。 全书共分两卷，第一卷为数学中的归纳和类比，第二卷为合情推理模式。第一卷主要讲述数学中各种合情推理的实例。

第一卷 译者的话 序言 对读者的提示 第一章 归纳方法 引言 1.经验和信念 2.启发性联想 3.支持性联想 4.归纳的态度 第一章的例题和注释, l~~14.[12.是与非.13.经验与行为.14.逻辑学家. 数学家. 物理学家和工程师.] 第二章 一般化. 特殊化. 类比 1.一般化. 特殊化. 类比和归纳 2.一般化 3.特殊化 4.类比 5.一般化. 特殊化和类比 6.由类比作出的发现 7.类比和归纳 第二章的例题和注释, 1~~46, [第一部分, 1~~20, 第二部分,21~~46].[1.正确的推广.5.一个极端的特殊情形.7.起主导作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11.可类比的情形.18.伟大的类比.19.明确的类比.20.几位数学家的名句摘录.21.猜想E.44.对猜想的一个疑问和证明的第一步尝试.45.证明的第二步尝试.46.类比的危险.] 第三章 立体几何中的归纳推理 1.多面体 2.支持猜想的第一批事实 3.支持猜想的更多事实 4.一次严格的检验 5.验证再验证 6.一种很不同的情形 7.类比 8.空间的分割 9.修改一下问题的提法 10.一般化. 特殊化. 类比 11.一个类似的问题 12.类似问题的一张表格 13.解决一大批问题有时比解决单独一个问题更容易 14.一个猜想 15.预言与证明 16.再来一次, 使它更好 17.归纳法引向演绎法, 特例引向一般证明 18.更多的猜想 第三章的例题和注释, l~~41.[21.归纳过程:思想的适应, 语言的适应.31.笛卡儿对多面体的研究工作.36.立体补角,互补球面多边形.] 第四章 数论中的归纳方法 1.边长为整数的直角三角形 2.平方和 3.关于四奇数平方和问题 4.考察一个例子 5, 把观察结果列成表 6.有什么规则 7.关于归纳发现未知事物的性质 8.关于归纳证据的性质 第四章的例题和注释,1~~26.[1.符号表示法.26.归纳法的危险.] 第五章 归纳法杂例 l.函数的展开式 2.近似式 3.极限 4.设法推翻它 5.设法证明它 6.归纳阶段的作用 第五章的例题和注释, 1~~18.[15.解释观察到的规律性.16.把观察到的事实进行分类.18.差别是什么 ] 第六章 更一般性的陈述 1.欧拉 2.欧拉的研究报告 3.从实践到抽象的一般观点 4.欧拉研究报告的概述 第六章的例题和注释,l~~25.[1.母函数.7.平面几何的一个组合问题.10.平方和.19.另一个递推公式.20.整数因子和的另一个奇特规律.24.欧拉怎样遗漏一个发现.25.欧拉定理关于σn 的一种推广.] 第七章 数学归纳法 1.归纳阶段 2.论证阶段 3.研究的飞跃 4.数学归纳法的技巧 第七章的例题和注释, l~~18.[12.多证可能反而更省事.14.权衡你的定理.15.展望.17.任何n个数都相等吗 ] 第八章 极大和极小 1.模式 2.例子 3.相切的等高线模式 4.两个例子 5.局部变动的模式 6.算术平均与几何平均的定理及其初步推论 第八章的例题和注释, 1~~63, [ 第一部分, 1~~32, 第二部分,33~~63].[1.平面几何中的最小和最大距离.2.空间几何中的最小和最大距离.3.平面上的等高线.4.空间中的等值面.11.穿过尊等高线的原则.22.局部变动原则.23.极值的存在性.24.局部变动模式的一个变形:无限过程.25.局部变动模式的另一个变形:有限过程.26.用图示比较.33.多边形和多面体.面积和周长.体积和表面.34.具有正方形底的正棱柱.35.正圆柱.36.一般的正棱柱.37.具有正方形底的正对顶棱锥.38.正对顶锥.39.一般的正对顶棱锥.43.几何应用于代数.45.代数应用于几何.51.具有正方形底的正棱锥.52.正圆锥.53.一般的正棱锥.55.开盖盒子.56.槽.57.片.62.邮政局问题.63.开普勒问题.] 第九章 物理数学 1.光学解释 2.力学解释 3.反复解释 4.吉恩·伯努利关于捷线的发现 5.阿基米德关于积分法的发现 第九章的例题和注释,1~~38.[3.内接于已知三角形中具有最小周长的三角形.9.空间中四点交通中心.10.平面上四点交通中心.11.四点交通网.12.打开与拉直.13.弹子.14.地球物理勘查.23.多面体表面上的最短线.24.曲面上的最短线(测地线).26.折纸法的一个设计.27.掷骰子.28.洪水.29.不像井那么深.30.一种常用的极端情形.32.变分法.33.从截面平衡到立体平衡.38.阿基米德方法的回顾.] 第十章 等周问题 1.笛卡儿的归纳理由 2.潜在的理由 3.物理原因 4.瑞利的归纳理由 5.导出结论 6.证明结论 7.非常密切的关系 8.等周定理的三种形式 9.应用与问题 第十章的例题和注释, 1~~43, [第一部分, 1~~15, 第二部分,16~~43].[1.回顾.2.你能用不同的方法推出某些部分的结果吗 3.比较详细地重新叙述.7.你能将此方法用于其他某些问题吗 8.等周定理的更清晰的形式.16.杆和绳.21.两根杆和两条绳.25.立体几何中的泰都问题.27.平面区域的等分钱.34.封闭曲面的等分线.40.具有许多完美性的图形.41.一种类似的情形.42.正立体.43.归纳理由] 第十一章 更多种类的合情推理 1.猜一猜 2.根据有关情形判定 3.根据一般情形判定 4.提出一个比较简单的猜想 5.背景 6.无穷尽的过程 7.常用的启发性假设 第十一章的例题和注释,1~~23.[16.一般情形.19.没有主意是最不好的.20.一些常用的启发性假设.21.乐观的报酬.23.数值计算与工程师.] 后纪 问题的解答 参考文献~