微分学

Henri Cartan（1904年7月8日－2008年8月13日），法国数学家，数学家埃利·嘉当之子，曾荣获沃尔夫奖。 昂利·嘉当生于法国南锡，在法国巴黎高等师范学院获得博士学位。他曾研究代数几何、层论和同调代数，一些重要工作有上同调运算、基灵同调群和群上同调。他在法国几所大学有学术职位，多在巴黎工作。 嘉当在1945年于巴黎开了一个研讨班，主要题目有多复变分析、层论和谱序列。这研究班对让-皮埃尔·塞尔、阿尔芒·波莱尔，亚历山大·格罗滕迪克和弗兰克·亚当斯等的后一辈数学家有深远影响。他也是布尔巴基小组的创会成员，是最活跃成员之一。 嘉当和塞缪尔·艾伦伯格合著《同调代数》（Homological Algebra），以适度的抽象化和范畴论来论述。 他在1974年1月28日获选进法兰西科学院，在1976年获颁法国国家科学研究中心金奖章。

《微分学》是H．嘉当根据他在20世纪五、六十年代所授课程编写的。书中讲述了巴拿赫空间中的微分学、微分方程及微分形式，还讲述了变分学原理与活动标架法及对曲线和曲面论的应用。该书包含了数学的一些纯粹分支和应用分支；正文由许多例子阐明，并且每一部分都包含一些程度不同的习题。 《微分学》可部分地采用为数学与应用数学专业大学本科生或研究生教材，也可供广大数学工作者及学生参考。

上编微分学 第一章 巴拿赫空间中的微分学 1．关于巴拿赫空间及连续线性映射概念的回颐 1．1． 向量空间E上的范数 1．2． 巴拿赫空间的例子 1．3． 巴拿赫空间中的正规收敛级数 1．4．连续线性映射 1．5．连续线性映射的复合 1．6． 赋范向量空间的同构；赋范向量空间上的等价范数 1．7．空间的例子 1．8．连续多重线性映射 1．9． 自然等距映射 2．可微映射 2．1．可微映射的定义 2．2．复合映射的导出映射 2．3．导出映射的线性 2．4．特殊映射的导出映射 2．5．在几个巴拿赫空间的积中取值的映射 2．6．U是几个巴拿赫空间的积中开集情形 2．7．2．5及2．6段中所研究情形的组合 2．8．最后的注记：可微性及C可微性的比较 3．有限增量定理；应用 3．1．主要定理的叙述 3．2．主要定理的特殊情形 3．3．变量在巴拿赫空间中的有限增量定理 3．4．有限增量定理续论 3．5．习题 3．6．有限增量定理的第一种应用：可微映射序列的收敛性 3．7．有限增量定理的第二种应用：偏可微性与可微性之间的关 3．8．有限增量定理的第三种应用：严格可微映射概念 4．C1类映射的局部反演．隐映射定理 4．1．C1类的微分同胚 4．2．局部反演定理 4．3．局部反演定理的证明：第一步化简 4．4．命题4．3．1的证明 4．5．定理4．4．1的证明 4．6．有限维情形下的局部反演定理 4．7．隐映射定理 5．高阶导出映射 5．1．二阶导出映射 5．2．E是乘积空间情形 5．3．逐阶导出映射 5．4．n次可微映射的例子 5．5．泰勒公式：特别情形 5．6．泰勒公式：一般情形 6．多项式 6．1．n次齐次多项式 6．2．不一定齐次的多项式 6．3．多项式的逐次“差分” 6．4．E及F是赋范向量空间情形 7．有限展开式 7．1．定义 7．2．f在点a处n次可微情形 7．3．有限展开式的运算 7．4．两个有限展开式的复合 7．5．计算复合映射的逐阶导出映射 8．相对极大与极小 8．1．相对极小的第一个必要条件 8．2．相对极小的二阶条件 8．3．严格相对极小的充分条件 习题． 第二章 微分方程 1．定义与基本定理 1．1．一阶微分方程 1．2．n阶微分方程 1．3． 近似解 1．4．例：线性微分方程． 1．5．李普希茨情形：基本引理 1．6．基本引理的应用：唯一性定理 1．7．李普希茨情形下的存在定理 1．8，是局部李普希茨情形 1．9．线性微分方程情形 1．10．对初始值的依赖性 1．11．微分方程依赖于一个参变量情形 2．线性微分方程 2．1．通解的形式 2．2．齐次线性方程研究 2．3．E有有限维情形 2．4． “带右端项的”线性方程 2．5．n阶齐次线性微分方程情形 2．6． “带右端项的”阶线性微分方程 2．7．常系数线性微分方程 2．8．常系数方程：E有有限维情形 2．9．常系数n阶线性微分方程 3．一些问题 3．1．含一个参变量的线性自同构群 3．2．含一个参变量之群的芽 3．3．可微性问题 3．4．可微性问题(续)：对初始值u的可微性 3．5．定理3．4．2的证明 3．6．对微分方程所含一个参变量的可微性 3．7．高阶可微性 3．8．二阶微分方程情形 3．9．不含自变量的微分方程 3．10． “未解出的”微分方程 4．首次积分与线性偏微分方程 4．1．微分方程组的首次积分的定义 4．2．首次积分的存在性 4．3．非齐次线性偏微分方程 4．4．例 习题 下编微分形式 第一章 微分形式 1．交错多重线性映射 1．1．交错多重线性映射的定义 1．2．排列群 1．3．交错多重线性映射的性质 1．4．交错多重线性映射的乘法 1．5．外乘法的性质 1．6．n个线性形式的外乘积 1．7．E有有限维情形 2．微分形式 2．1．微分形式的定义 2．2．微分形式的运算 2．3．外微分的运算 2．4．外微分运算的性质 2．5．外微分的基本性质 2．6．有限维空间上的微分形式 2．7．按典范写出的微分形式的算法 2．8．微分形式中的变量代换 2．9．变量代换中映射的性质 2．10．按典范写出的的计算 2．11．变量代换的可递性 2．12．微分形式等于的条件 2．13．庞加莱定理的证明 3．一次微分形式的线积分 3．1．C1类道路 3．2．线积分 3．3．参变量代换 3．4．是映射的微分情形 3．5．一次闭微分形式 3．6．闭形式沿一条道路的原映射 3．7．两条道路的同伦 3．8．单连通开集 4．次数>1的微分形式的积分 4．1．单位的可微分解 4．2．平面中带边界的紧集 4．3．微分2形式在带边界的紧集K上的积分 4．4．平面上的斯托克斯定理 4．5．定理4．4．1(斯托克斯定理)的证明 4．6．重积分中的变量代换 4．7．空间中的流形 4．8．流形的定向 4．9．微分2彤式在C1类2维定向紧流彤上的积分 4．10．n重积分 4．11．在流形A，上的微分形式 4．12．p维流形的p维体积元素 5．流形上数值函数的极大与极小 5．1．第一阶条件 5．2．第二阶条件 6．弗罗贝尼乌斯定理 6．1．问题的地位 6．2 第一存在定理 6．3．第二存在定理 6．4．第二存在定理证明的终结 6．5 基本定理 6．6．用微分形式的解释 习题 第二章 变分学原理 1．问题的地位 1．1．C1类曲线的空间 1．2．曲线的泛函 1．3．例 1．4．极小问题 1．5．极值条件的变换 1．6．对于极值曲线的计算 2．欧拉方程的研究：极值曲线的存在性例 2．1．形下的欧拉方程 2．2．例 2．3．力学中的拉格朗日方程 2．4． 回到一般情形：与t无关情肜 2．5．F是y的二次齐次式情形 2．6．流形的测地线情形 2．7．流形上曲线的极值问题 2．8．上列情形的变换 3．二维问题 3．1．问题的地位 3．2．极值条件的变换 习题 第三章 活动标架法对曲线及曲面论的应用 1．活动标架 1．1．微分形式及的定义 1．2．形式及所满足的关系式 1．3．标准正交标架 1．4．中定向曲线的弗雷内标架 1．5．中定向曲面S上定向曲线C的达布标架 1．6．测地曲率、法曲率及测地挠率的计算 2．与中曲面相联系的含三个参变量的标架族 2．1．定向曲面的标架流形 2．2．曲面上标架的运动方程 2．3．曲面S的面积元素 2．4．曲面S的第二基本二次形式 2．5． 已定方向上法曲率及测地挠率的计算 2．6．主方向；曲率线 2．7．测地曲率的微分形式 2．8．标架场的应用 2．9．沿曲线的平行移动 2．10．全曲率与平行移动的关系 2．11．用第一基本形式计算曲面的全曲率 习题 索引 上编：微分学 索引 下编：微分形式 外国人名译名对照表 译后记