高等数学（下）

内 容 提 要

本书是在1993 年出版的高等工科院校函授自学教材《高等数学》

的基础上，参照1993 年修订后的“成人教育工科类本科各专业‘高等数

学’教学基本要求”而重新修订编写而成.全书仍分上、下两册.下册

内容为多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、常数

项级数与幂级数、傅立叶级数、微分方程等6章，每一章配有适量的习

题、自学指导与复习思考题，全书配有6次测验作业题。

本书概念清楚，论述准确；由浅人深，循序渐进；推演论证，跃度较

小；重点突出，难点分散；例题典型，代表性强；深广度要求适当，便于自

学和函授教学使用操作。本书既可作为高等工科院校的函授教材，也

可作为其他各类成人学历教育工科类本科或专升本层次专业的教学用

书。对于全日制本科生、工程技术人员或自学考试者，也可作为参考书

或自学用书.

目 录 第十一章 多元函数微分法及其应用 11.1多元函数的概念 一、邻域和区域的概念 二、多元函数的概念 三、多元函数的图形 练习11－1 11.2 二元函数的极限与连续 一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 练习11－2 11.3偏导数 一、偏导数的概念 二、偏导数的求法 三、二元函数偏导数的几何意义 四、高阶偏导数 练习11－3 11.4 全微分 一、全微分的概念 二、全微分在近似计算和误差估计中的应用 练习11－4 11.5多元复合函数的导数 一、多元复合函数的求导法则 二、多元复合函数的高阶偏导数 练习11－5 11.6 隐函数的求导公式 一、由方程F（Xy）＝0所确定的隐函数y＝f（x）的求导公式 二、由方程F（xyz）＝0所确定的隐函数z＝f（x，y）的 求导公式 *三、由方程组所确定的隐函数的导数 练习11－6 11.7方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 练习 11－7 11.8微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面及其方程 二、空间曲面的切平面与法线及其方程 练习 11－8 11.9多元函数的极值 一、多元函数的极值与最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 练习11－9 习题（十一） 自学指导 复习思考题（十一） 测验作业题（七） 第十二章 重积分 12.1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 练习12－1 12.2二重积分在直角坐标系中的计算法 练习 12－2 12.3二重积分在极坐标系中的计算法 练习12－3 12.4 二重积分的应用 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 练习12－4 12.5三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 一、三重积分的概念 二、三重积分在直角坐标系中的计算法 练习12－5 12.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 练习 12－6 12.7三重积分的应用举例 练习12－7 习题（十二） 自学指导 复习思考题（十二） 测验作业题（八） 第十三章 曲线积分与曲面积分 13.1对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 练习 13－1 13.2 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线 积分的计算法 三、两类曲线积分之间的关系 练习13－2 13.3格林公式 练习 13－3 13.4 平面上曲线积分与路径无关的问题 一、平面上曲线积分与路径无关的条件 二、二元函数的全微分求积 练习13－4 13.5对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 练习13－5 13.6对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面 积分的计算法 三、两类曲面积分之间的关系 练习 13－6 13.7高斯公式 练习13－7 习题（十三） 自学指导 复习思考题（十三） 测验作业题（九） 第十四章 常数项级数与幂级数 14.1常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 练习14－1 14.2正项级数的审敛法 一、比较审敛法 二、比值审敛法［达朗贝尔（D’Alembert） 判别法］ 三、根值审敛法［柯西（Cauchy）判别法］ 练习 14－2 14.3任意项级数的审敛法 一、交错级数审敛法［莱布尼兹（Leibniz）准则］ 二、绝对收敛与条件收敛 练习14－3 14.4 函数项级数的概念与幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 练习14－4 14.5把函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、把函数展开成幂级数 练习14－5 14.6函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、欧拉公式 练习 14－6 习题（十四） 自学指导 复习思考题（十四） 测验作业题（十） 第十五章 傅立叶级数 15.1周期为2π的函数的傅立叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、周期为2π的 函数的傅立叶级数及其收敛性 三、周期为2π的函数展 开为傅立叶级数 四、定义在［－π，π］上的函数展开为傅 立叶级数 练习15－1 15.2正弦级数和余弦级数 一、正弦级数和余弦级数 二、定义在［0，π］上的函数展 开为正弦（余弦）级数 练习 15－2 15.3周期为2l的周期函数的傅立叶级数 练习 15－3 习题（十五） 自学指导 复习思考题（十五） 测验作业题（十一） 第十六章 微分方程 16.1微分方程的基本概念 练习16－1 16.2 可分离变量的微分方程和齐次方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 练习 16－2 16.3一阶线性微分方程与贝努利方程 一、一阶线性微分方程 二、贝努利方程 练习 16－3 16.4 全微分方程 练习16－4 16.5 一阶微分方程的应用举例 练习 16－5 16.6可降阶的高阶微分方程 一、y（n）＝f（x）型的微分方程 二、y″＝f（x，y′）型的 微分方程 三、y″＝f（yy′）型的微分方程 练习16－6 16.7高阶线性微分方程及其解的结构 一、二阶线性微分方程举例 二、线性微分方程解的 结构 练习 16－7 16.8二阶常系数线性齐次微分方程 练习16－8 16.9二阶常系数线性非齐次微分方程 一、f（x）＝pm（x）eλz型 二、f（x）＝pm（x）eλzcosωx （或Pm（x）eλxsinωx）型 练习16－9 16.10欧拉方程 练习 16－10 16.11高阶微分方程的应用举例 练习16－11 16.12微分方程的幂级数解法举例 练习16－12 习题（十六） 自学指导 复习思考题（十六） 测验作业题（十二）